低空经济是以低空空域为依托、以通用航空产业为主导，辐射带动效应强、产业链较长的综合经济形态［1］。2024年，低空经济首次被写入政府工作报告，标志着其作为战略性新兴产业的重要性，政府也从多方面发力推动低空经济的高质量发展［2］。低空经济+物流是目前商业应用最广泛的场景，即利用无人机完成货物的配送。在实际应用领域中，低空物流逐渐展现出其强大的潜力，并迅速成为一种新型的物流解决方案［3］。与传统物流的运输模式相比，低空物流的优势更为突出，但同时也面临着许多新的挑战与机遇［4］。低空物流的发展得到了国家和地方政府的高度重视和政策支持，与此同时，无人机成为了低空物流的主要运输工具［5］。选址问题是无人机物流在低空经济发展中探索可持续发展的路径，对推动低空经济高质量发展具有重要意义［6］。
1 模型建立
1.1 问题描述
无人机物流配送的一个关键点在于配送中心的选址与分配，这是有效开展场景示范的主要问题之一。本文以沈阳市非禁飞区的20所高校为需求点，通过走访得到某日20所高校顺丰快递的小件快递大致数量，以总经济成本为目标，在多条件约束下确定最优选址分配方案。
1.2 条件假设
为便于研究，本文条件假设如下：1）每个需求点仅由一个无人机物流配送中心负责配送，每个配送中心可以服务多个需求点；2）无人机运输途中速度均匀，不受自然天气的影响；3）仓库容纳的小件快递尺寸均匀；4）大件快递由电车或卡车配送，无人机仅配送小件快递；5）每架无人机仅负责配送一个需求点，每个需求点可由多架无人机服务。
1.3 构建函数
本文所建立的数学模型以经济总成本C最小为目标，其中包括配送中心成本C 1、无人机成本C 2两个部分。
式中：C为配送中心的总费用；f和O分别为建设费用和设备运行费用；i和j分别为需求点和配送中心的序号，其中xj =1或0即代表是否在j点处建设配送中心。
式中： 为无人机的总费用，包括完成运输所需要租赁的无人机费用及电池费用；Mi 为需求点i的需求量；m为无人机最大载重质量；L为无人机满载的最大航程；dji 为配送中心j与需求点i之间的距离；Cr 为无人机每小时的租赁成本；p为无人机电池单价。式（3） 共由两部分组成，第一部分为无人机完成配送所需电池的总费用，第二部分为为无人机完成配送的租赁费用。
1.4 约束条件
1） 每个需求点仅由一个配送中心服务。yji =1或0代表配送中心j是否完成对需求点i的配送。
式中：D和G分别为需求点和配送中心的集合。
2） 无人机配送中心服务的需求点的货物量总和要不大于其配送中心的容量，但要不小于配送中心的最低负载率ω下的最低负载量。
式中：V表示该点的货物量。
3） 每架无人机承载货物进行运输时的往返航程距离要小于无人机的最大航程限制。
4） 无人机每次配送所承载的货物质量必须不大于无人机最大载重量。
5） 无人机每次完成配送后必须由服务的需求点返回到原配送中心，不得回到其他配送中心。
6） 无人机在每次配送前的电量确保能完成该次往返航程的运输，E k 为第k次飞行时无人机的电量。
7） 每个配送点的服务时间不得超过2 h。
式中：v为无人机飞行速度。
8） 配送中心不得与需求点重合，其最小距离为0.1 km。
1.5 选址因素分析
针对城市场景下多无人机的物流配送任务分配问题［12-13］，首先需考虑多重因素以确保配送中心布局的合理性。在本文的问题背景中，以物流总成本最小为核心目标，考虑无人机配送中心的容量及最低负载率的变化对最终选址结果的影响。容量约束会限制无人机配送中心的服务范围，将出现短距离少频次或长距离多频次的运输情形［14］，在保证总成本目标最小的同时，不同的容量约束会得到不同的选址方案。配送中心最低负载率［15］是物流行业中非常重要的运营约束条件，对选址决策产生系统性的影响，当最低负载率较低时，物流中其他设备、人力成本会增加，同时也会造成物流资源的浪费。针对这两个因素的约束函数如式（5） 所示，相关问题将在3.3节中给出具体分析，从而讨论不同约束条件下对最终选址结果的影响。
2 算法设计
2.1 算法描述
聚类分析的目的是将数据分成若干个簇，使得簇内数据点的相似度较高，簇之间的数据点相似度较低。但在实际应用中，如何确定最佳的聚类数量（簇的数量）是一个关键问题，手肘法是一种简单而有效的方法。故本文先通过手肘法确定配送中心的最佳数量。
模拟退火（simulated annealing，SA）算法是一种概率算法，用于在大搜索空间内寻找问题的近似最优解。该算法通过模拟物理中的退火过程，在搜索过程中引入随机性，避免陷入局部最优解，从而提高找到全局最优解的概率。
2.2 算法方案
2.2.1 手肘法确定聚类数量
手肘法是基于聚类的总平方和确定最佳聚类数量。由于本文数据是经纬度坐标，故使用Haversine公式来计算坐标间的球面距离。簇内平方和（within-cluster sum of squares，WCSS）及Haversine的计算公式分别如式（12 ）、（13 ）所示。利用Python绘制出聚类数量与WCSS的关系图像，在曲线中可以找到一个“肘点”，即在这个“肘点”后可明显发现曲线下降速率放缓，而肘点对应的数量则是最终需要确定的最佳聚类数量。
式中：k为聚类的数量；Cs 为第s个簇； 为第s个簇的中心（经纬度坐标）；x为簇内的数据点（经纬度坐标）；haversine（x， ）为数据点x和簇中心 之间的球面距离；R为球面半径（取6 371公里）；∆lat为任意两点之间的纬度差；∆lon为任意两点之间的经度差。结合各高校经纬度坐标点与式（12 ）、（13 ）得到聚类数量k与WCSS的图像，手肘法求取k值，如图1所示，本文中k的取值为拐点4。
2.2.2 基于模拟退火的优化算法
SA算法通过逐渐降低温度控制搜索过程，能够在早期接受较差的解以避免陷入局部最优。该算法适用于解决本文的在多约束条件下选址分配的组合优化问题，具体实现步骤如下：
1）设置算法参数。初始温度设置为1 000并根据运行次数进行调整，确保多次运行具有不同的搜索范围；温度衰减系数α设置为0.99；最小温度设置为10-8，当温度低于此值时停止迭代，最大迭代次数设置为2 000，以防止无限循环。
2）初始解xk 生成。在需求点内随机生成4个配送中心位置，并确保每个配送中心与所有需求点保持最小距离0.1 km，该操作最多尝试1 000次，同时计算初始解下的目标函数值f（xk）。
3）生成新解x new。随机选择一个配送中心，对其坐标进行小范围扰动，如果扰动后的配送中心不满足约束，则尝试在附近重新生成，最多尝试10次，同时计算新解的目标函数值f（x new）。
4） 接受准则。根据Metropolis准则决定是否接受新解，接受概率如式（14） 所示。
5） 迭代结束。重复上述过程，直到温度小于最小温度或达到最大迭代次数。
3 算例分析
3.1 案例描述与参数设置
本文基于Python对非禁飞区的高校无人机配送中心选址分配问题进行仿真，通过百度地图的坐标拾取器获得高校坐标，经走访获得各高校某日的顺丰小件快递收件数量，高校信息数据如表1所示。
表1 高校信息数据 |
| 序号 | 经度/（°） | 纬度/（°） | 快递量/件 | 序号 | 经度/（°） | 纬度/（°） | 快递量/件 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 123.421 913 | 41.930 841 | 100 | 11 | 123.452 347 | 41.774 347 | 480 |
| 2 | 123.393 411 | 41.932 636 | 1 300 | 12 | 123.522 459 | 41.749 330 | 1 360 |
| 3 | 123.489 738 | 41.962 089 | 3 600 | 13 | 123.500 306 | 41.734 094 | 1 940 |
| 4 | 123.413 146 | 41.932 102 | 2 350 | 14 | 123.578 261 | 41.832 387 | 3 420 |
| 5 | 123.424 947 | 41.925 672 | 1 050 | 15 | 123.411 052 | 41.689 361 | 460 |
| 6 | 123.422 375 | 41.914 407 | 2 850 | 16 | 123.395 991 | 41.678 885 | 1 030 |
| 7 | 123.415 043 | 41.894 656 | 900 | 17 | 123.240 550 | 41.753 346 | 990 |
| 8 | 123.465 599 | 41.830 000 | 750 | 18 | 123.255 149 | 41.742 422 | 1 660 |
| 9 | 123.436 655 | 41.782 261 | 770 | 19 | 123.424 827 | 41.771 164 | 5 500 |
| 10 | 123.511 703 | 41.754 783 | 310 | 20 | 123.488 406 | 41.772 855 | 810 |
通过查阅顺丰物流官网及走访其物流企业，最终选取型号为丰舟90无人机，其参数设置如表2所示。同时，理想化每小件快递质量平均为1 kg，经询问该企业相关人员了解到，对于高校快递配送的情形适宜建造容积为400 m3的配送中心，可容纳约12 000件的小件快递。为突出无人机的时效性，要求配送在2 h内完成。由于丰舟90无人机在市场中的租赁费用未公开，故本文参考《2023年中国物流无人机发展白皮书》中20 kg级无人机综合运营的租赁费用3 500元/h。综合第三方行业分析与车辆运输平均装载率，预测出顺丰配送中心在核心城市枢纽的最低负载率通常在50%~60%，即最低阈值为50%~60%，故本文中取55%为配送中心的最低负载率，文中在合理的最低负载率范围内，研究最低阈值变化对最终选址结果的影响。
表2 丰舟90无人机参数设置 |
| 名称 | 数值 | 名称 | 数值 |
|---|---|---|---|
| 无人机配送中心建设成本/万元 | 10 | 无人机每小时租赁费用/元 | 3 500 |
| 无人机巡航速度/（km·h-1） | 108 | 无人机电池单价/元 | 2 000 |
| 无人机最大载重质量/kg | 20 | 无人机最大起飞质量/kg | 88 |
| 满载最远航程/km | 65 | 配送中心最低负载率/% | 55 |
3.2 结果分析
由手肘聚类法知本文案例背景下要选取4个无人机物流配送中心点，其坐标点分别为（123.466 691 36，41.881 014 06）、（123.466 880 88，41.952 787 18）、（123.433 129 08，41.772 204 6）、（123.436 615 45，41.740 479 16），经计算，该方案下的总成本C为160.1万元，其中配送中心成本C 1为40万元，无人机成本C 2为120.1万元。
3.3 参数约束分析
3.3.1 配送中心最低负载率约束
配送中心的最低负载率是评价仓库运作效率的一个重要指标，在本文问题背景下，保持其他参数均不变，对减小配送中心的最低负载率至50%、增大配送中心的最低负载率至60%，分别进行研究，不同最低负载率下的最终选址分配结果如图4所示。
经计算，当配送中心最低负载率减小到50%时，最小总成本C为146.2万元，此时新的配送中心经纬度坐标分别为（123.416 024 93，41.916 213 12）、（123.520 380 78，41.919 396 69）、（123.485 575 77，41.748 158 81）、（123.403 023 82，41.775 476 94）；当最低负载率增加到60%时，最小总成本C为161.2万元，该最低负载率下的配送中心经纬度坐标分别为（123.466 045 1，41.879 844 63）、（123.460 121 65，41.952 965 01）、（123.435 587 45，41.769 925 05）、（123.435 255 97，41.737 645 07）。
3.3.2 配送中心容量约束
当其他参数不变时，在满足配送中心容量大于其服务需求点的需求量之和且大于配送中心最低负载率的约束下，配送中心容量分别减少或增加至11 000件和13 000件。不同容量约束下最终选址分配结果如图5所示。
经计算，当配送中心容量减少至11 000件时的选址分配方案恰与容量为12 000件、配送中心最低负载率为50%时的方案一致。当配送中心容量增加至13 000件时，最小总成本C为160.9万元，此时新的配送中心的经纬度坐标分别为（123.466 290 53，41.880 963 72）、（123.458 485 3，41.955 120 23）、（123.433 317 27，41.774 166 18）、（123.434 401 82，41.740 998 6）。
由此，经对配送中心的容量约束与最低负载率约束的灵敏度分析发现，在不同情形下的最终选址结果会随着参数约束的改变而发生变化。因此，要根据实际情况进行更合理的选址布局。
4 结论
4.1 研究结论与研究局限
本文以经济总成本最小为目标，模拟了沈阳市20所高校的无人机配送中心选址分配过程，考虑多约束条件下的目标函数、构造数学模型，结合手肘聚类与模拟退火的优化算法对其进行求解。最后对配送中心的最低负载率和容量约束分别进行灵敏度分析，得到不同情况下最小成本的选址分配方案。但现有研究仍存在以下不足之处：首先，文中仅为每个无人机服务一个需求点的情形，未考虑服务多个需求点的复杂问题。其次，本文实验数据为随机单日数据，并未以月均数据进行模拟实验验证本文算法的可行性与有效性，在未来研究中将深入考虑更为复杂的因素。
4.2 实践启示与未来展望
基于上述研究内容，针对无人机配送中心选址问题从政府与企业两个层面提出如下建议：
1）政府层面：首先，政府可制定无人机配送等专项政策、为实施相关政策地区提供优惠补贴，促进区域的均衡发展。其次，为得到更合理、精准的无人机配送中心选址方案，政府可公开人口密度、交通流量、飞行标准等公共数据。最后，对使用新能源无人机的企业可给予相关的税收减免，促进无人机配送模式的大规模普及。
2）企业层面：第一，物流企业应根据需求导向精准分析客户、订单密度的分布，确保无人机配送中心覆盖较多的需求点。第二，合理平衡物流成本与配送效率，避免因追求较低成本而导致客户满意度的降低。第三，由于无人机的特殊性，需考虑选址必须符合低空空域的管制要求。
作为低空经济的核心应用领域，低空物流聚焦于低空无人机物流配送场景，而物流配送中心的选址是现代物流配送系统中的一个关键问题。合理的配送中心布局能够优化物流网络的响应能力、全链条控制物流成本及提升物流网络的服务能力和时效性，无人机配送模式还能够减少传统燃油车排放，助力“双碳”战略，更好地响应国家可持续发展的号召。此外，构建无人机配送中心并将其融入到智慧城市基础建设中去，也需要综合考虑无人机运行限制和起降场特点，归纳选址影响因素。在政府与企业的协同下，共同推动无人机配送的规模化应用，促进我国低空物流的迅猛发展。