Optimality conditions for the second-order cone constrained variational inequalities

SUN Yining; WANG Li; SUN Juhe; WANG Bin; YUAN Yanhong

doi:10.3969/j.issn.2095-1248.2023.04.009

Journal of Shenyang Aerospace University >

2023 , Vol. 40 >Issue 4: 67 - 71

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.2095-1248.2023.04.009

Fundamental Science and Engineering

Optimality conditions for the second-order cone constrained variational inequalities

SUN Yining ^,¹ ,
WANG Li ^,¹ ,
SUN Juhe ¹ ,
WANG Bin ¹ ,
YUAN Yanhong ²

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^1. College of Science，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China
^2. College of Economics and Management，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China

Received date: 2022-12-05

Online published: 2023-11-09

Fold

Abstract

The optimality conditions for the second-order cone constrained variational inequalities was studied.Firstly，the second-order cone constrained variational inequalities were transformed into a special minimization problem，and the equivalent form for the second-order cone constrained variational inequalities was obtained.Secondly，the first-order necessity conditions for the second-order cone constrained variational inequalities was obtained according to the equivalent form.Finally，the second-order sufficiency condition satisfying Robinson constraint specification was proved.The analysis of optimality conditions provides the oretical support for the algorithm design of the second-order cone constrained variational inequalities.

Key words： second-order cone constrained; variational inequality; Karush-Kuhn-Tucker condition; Robinson constraint specification; first-order necessity condition; second-order sufficiency condition

Cite this article

SUN Yining , WANG Li , SUN Juhe , WANG Bin , YUAN Yanhong . Optimality conditions for the second-order cone constrained variational inequalities[J]. Journal of Shenyang Aerospace University, 2023 , 40(4) : 67 -71 . DOI: 10.3969/j.issn.2095-1248.2023.04.009

考虑二阶锥约束变分不等式问题：找到

x * ∈ Ω

满足

F (x *), y - x * ≥ 0, - g (y) ∈ 𝒦

（1）

式中：

y ∈ Ω

，

⋅, ⋅

是欧式内积；

F : R n → R n

，

g : R n → R m

是连续可微的，

Ω ⊂ R n

为非空闭凸集，

𝒦

如下定义

𝒦 = 𝒦 m 1 × 𝒦 m 2 × ⋯ × 𝒦 m p

（2）

式中：

m i ≥ 1

，且

m 1 + m 2 + ⋯ m p = m

；

𝒦 m i

是在

R m i (i = 1,2, ⋯, p)

中的二阶锥（SOC）；相应的

g (y) = g m i (y), ⋯, g m p (y)

。

变分不等式问题是数学规划的一个重要分支^［1］，它被广泛应用于交通、优化理论^［2］、力学^［3］、金融等^［4-5］方面，可见文献［1-5］。近年来，二阶锥约束变分不等式问题受到越来越多的关注。Sun等^［6］利用变分不等式的KKT条件构造了神经网络，运用度量投影映射的光滑函数将二阶锥约束变分不等式问题重新定义为方程组形式。Nazemi等^［7］将变分不等式问题简化为凸二阶锥规划问题，通过使用梯度神经网络模型求解凸二阶锥约束变分不等式问题。二阶锥约束变分不等式在一定条件下可以转化为优化问题，找到其最优解是解决该优化问题的重中之重。因此，对最优性条件进行研究是非常关键的。许多学者运用不同技术对不同类型优化问题的最优性条件进行研究。Liu等^［8］利用投影算子对半正定锥互补的二阶方向导数以及半正定锥互补集的二阶切集进行讨论，得到了半正定互补约束的规划问题的二阶充分条件。Toan等^［9］建立了数学规划问题的二阶最优性条件，从而得到了最优性控制问题的二阶最优性条件。齐爽^［10］用内点法的原始对偶分解算法，求解两阶段随机规划问题，探讨了两阶段随机二阶锥规划问题的最优性条件。Tadeusz^［11］将非光滑模糊优化问题构造成双目标优化问题，建立并证明了KKT点的最优性条件。

在此基础上，本文研究二阶锥约束变分不等式问题的最优性条件。在第1节，介绍二阶锥相关的定义和性质以及最优性条件分析需要用到的定义和性质。第2节将二阶锥约束变分不等式转化为一个特殊的极小值问题，通过等价形式得到一阶最优性条件。最后，证明满足Robinson约束规范的二阶充分条件。

1 预备知识

定义1 ^［12］二阶锥也叫做Lorentz锥或冰激凌锥，在

R n

中的二阶锥

𝒦 n

表示为

𝒦 n = (x 0, x ¯) | x 0 ∈ R, x ¯ ∈ R n - 1, x 0 ≥ x ¯

令

φ (x) = x ¯ - x 0

，则二阶锥

𝒦 n

又可表示为

𝒦 n = x ∈ R n : φ (x) ≤ 0

根据Fukushima^［13］，对于任意

x, y ∈ R n

，Jordan乘法定义如下

x ∘ y = (x Τ y; x 0 y ¯ + y 0 x ¯)

对于

x = (x 0; x ¯) ∈ R × R n - 1

有相应的谱分解

x = λ 1 ω (1) + λ 2 ω (2)

式中：

λ 1

、

λ 2

为

x

的特征值；

ω (1)

，

ω (2)

为

x

对应特征值的特征向量，其定义形式如下

λ i (x) = x 0 + (- 1) i x ¯, i = 1,2

和

ω (i) (x) = 12 (1; (- 1) i x ¯ x ¯, 若 x ¯ ≠ 0, 12 (1; (- 1) i w), 若 x ¯ = 0, i = 1,2

，式中：

w ∈ R n - 1

，且

w = 1

。

定义2 ^［14］对于闭集

S

及

x ∈ S

，则闭集

S

在

x

处的切锥

T S (x)

和正则法锥

N^S (x)

分别如下

定义

T S (x) = l i m t ↓ 0 s u p S - x t

和

N^S (x) = v ∈ R n | v, x' - x ≤ o (x' - x), x' ∈ S

定义3 ^［12］集合极限

T S i, 2 (x, h) = l i m t ↓ 0 i n f S - x - t h 12 t 2

和

T S 2 (x, h) = l i m t ↓ 0 s u p S - x - t h 12 t 2

分别称为

S

在点

x

沿方向

h

的内二阶切集与外二阶切集。

命题1 ^［15］令

x ∈ 𝒦 n

，则

T 𝒦 n (x) = R n, x ∈ i n t 𝒦 n, 𝒦 n, x = 0, d ∈ R n : d ¯ Τ x ¯ - d 0 x 0 ≤ 0, x ∈ b d r y 𝒦 n \ 0 .

（3）

证明：当

x ∈ i n t 𝒦 n

和

x = 0

时，根据切锥的定义可以直接得出。当

x ∈ b d r y 𝒦 n \ {0}

时，即

x 0 = x ¯ ≠ 0

，

φ (x) = x ¯ - x 0

是连续可微函数。因为

φ (x)

是Lipschtiz连续的，由于

φ' = φ ↓

，有

T 𝒦 n (x) = d ∈ R n : φ' (x; d) ≤ 0,

则

φ' (x) (x; d) = ∇ φ (x) Τ d = d ¯ Τ x ¯ x ¯ - d 0

，所以当

x ∈ b d r y 𝒦 n \ {0}

时，结论成立。

命题2 ^［10］假设

x ∈ 𝒦 n

，

d ∈ T 𝒦 n (x)

，则

T 𝒦 n 2 (x, d) = R n, d ∈ i n t T 𝒦 n (x) 𝒯 𝒦 n (x), x = 0 w ∈ R n : w ¯ Τ x ¯ - w 0 x 0 ≤ d 02 - d ¯ 2, 其他

（4）

证明：当

d ∈ i n t T 𝒦 n (x)

和

x = 0

时，由外二阶切集的定义可以直接得到。

当

x ∈ b d r y 𝒦 n \ {0}

，且

d ∈ b d r y T 𝒦 n (x)

时，由于

φ

是二阶连续可微的，且

φ (x)

是Lipschitz连续的，

φ ″ = φ ↓ ↓

，则

T 𝒦 n 2 (x, d) = w ∈ R n : φ ″ (x; d, w) ≤ 0

（5）

式中

φ ″ (x; d, w) = l i m t ↓ 0 φ (x + t d + 12 t 2 w) - φ (x) - t φ' (x; d) 12 t 2,

继续计算可以得到

φ ″ (x; d, w) = ∇ φ (x) Τ w + d Τ ∇ 2 φ (x) d = x ¯ Τ w ¯ x ¯ - w 0 + d ¯ 2 x - (d ¯ Τ x ¯) 2 x 3 .

所以，当

x ¯ = x 0

且

x ¯ Τ d ¯ = x 0 d 0

时，结论成立。

2 一阶最优性条件

将二阶锥约束变分不等式（SOCCVI）问题转化成如下的极小化问题

m i n f (y) s . t . - g (y) ∈ 𝒦 y ∈ Ω

（6）

式中：

𝒦 = 𝒦 m 1 × 𝒦 m 2 × ⋯ × 𝒦 m p

由式（2）定义，

f (y) = F (x *), y - x *

且

f (y) ≥ 0

。

定义问题式（6）的Lagrange函数

L (y, μ) = f (y) + μ T g (y)

，

式中：

μ = (μ m 1, μ m 2, ⋯, μ m p)

；

μ m i ∈ R m i

，

i = 1,2, ⋯, p

。

y

是原始变量；

μ

是对偶变量；在一定的正则条件下，原问题的解

x *

和Lagrange乘子

μ *

是Lagrange函数的鞍点，则

(x *, μ *)

满足下列KKT条件

∇ x ℒ (x *, μ *) = ∇ f (y) + ∇ g (x *) Τ μ * = 0, - g (x *) ∈ 𝒦, μ * ∈ 𝒦, - g (x *) ∘ μ * = 0,

（7）

则称

x *

是问题式（1）的稳定点，用

Λ (x *)

表示满足KKT条件的Lagrange乘子的集合。

因此，

x *

是二阶锥约束变分不等式问题的局部极小点，满足Robinson约束规范

0 ∈ i n t - g (x *) + 𝒥 g (x *) Τ R n - 𝒦

.（8）

且Lagrange乘子集合

Λ (x *)

是非空紧致的。

至此，式（7）和式（8）都是二阶锥约束变分不等式（SOCCVI）问题的一阶最优性条件。

3 二阶充分性条件

定义4

x *

是式（1）的一个稳定点，则在

x *

处的临界锥为

C (x *) = h | h ∈ T 𝒦 (x *), h ⊥ F (x *)

定义支撑函数

ℋ (x *, μ) = ℋ m 1 (x *, μ)

× ℋ m 2 (x *, μ) × ⋯ × ℋ m p (x *, μ)

式中

ℋ m i (x *, μ) = ∑ j = 1 m i ℋ j (x *, μ i)

i = 1,2, ⋯, p

，式中

ℋ m i (x *, μ i) = μ 0 m i g 0 m i (x *) ∇ g m i (x *) 1 0 T 0 - I m i 𝒥 g m i (x *), - g m i (x *) ∈ b d r y 𝒦 m i \ {0}, 0, 否则

（9）

定理1 假设

x *

是二阶锥约束变分不等式问题的一个稳定点，且满足Robinson约束规范

0 ∈ i n t - g (x *) + 𝒥 g (x *) Τ R n - 𝒦

（10）

则在

x *

处二阶增长条件成立当且仅当下述二阶条件成立

s u p μ ∈ Λ (x *) ∇ x x 2 ℒ (x *, μ) h, h + h Τ ℋ (x *, μ) h > 0, ∀ h ∈ C (x *) \ {0}

（11）

其中，

ℋ (x *, μ)

由式（9）定义。

证明：如果结论成立，由于集合

𝒦

在

- g (x *)

处沿

- 𝒥 g (x *) h

是二阶正则的，则下述条件成立

s u p μ ∈ Λ (x *) ∇ x x 2 ℒ (x *, μ) h, h - σ (- μ; 𝒯 2) > 0, ∀ h ∈ C (x *) \ {0}

（12）

当且仅当二阶增长条件在

x *

处成立。其中

𝒯 2 : = T 𝒦 2 (- g (x *), - 𝒥 g (x *) h)

表示在

- g (x *)

处沿着

- 𝒥 g (x *) h

的二阶切集，且

σ (⋅; 𝒯 2)

为

𝒯 2

的支撑函数，二阶切集为

𝒯 i 2 = T 𝒦 m i 2 (- g m i (x *), - 𝒥 g m i (x *) h) = R m i, - 𝒥 g m i (x *) h ∈ i n t T 𝒦 m i (- g m i (x *)), T 𝒦 m i (- 𝒥 g m i (x *) h), - g m i (x *) = 0, w ∈ R m i : w ¯ Τ (- g ¯ m i (x *)) - w 0 (- g 0 m i (x *)) ≤ (- 𝒥 g 0 m i (x *) h) 2 - (- 𝒥 g ¯ m i (x *) h) 2, 否则

（13）

因为

h ∈ C (x *),

从而

- 𝒥 g m i (x *) h ∈ T 𝒦 m i (- g m i (x *)) 。

当

- μ m i ∈ N 𝒦 m i (- g m i (x *))

，且

- g m i (x *) ∈ 𝒦 m i

时，根据二阶切集的定义，则

σ (- μ m i; 𝒯 m i 2) ≤ 0

因此，如果

0 ∈ 𝒯 m i 2

，则

σ (- μ m i; 𝒯 m i 2) = 0

。由（13）可知，当

- 𝒥 g m i (x *) h ∈ i n t T 𝒦 m i

(- g m i (x *))

，

- 𝒥 g m i (x *) h = 0

，

- g m i (x *) = 0

时，都有

0 ∈ 𝒯 m i 2

。

接下来，当

- g m i (x *) ∈ b d r y 𝒦 m i \ {0}

，且

- 𝒥 g m i (x *) h ∈ b d r y T 𝒦 m i (- g m i (x *))

的情况时，令

α : = m i | - g m i (x *) ∈ b d r y 𝒦 m i \ {0}, - 𝒥 g m i (x *) h ∈ b d r y T 𝒦 m i (- g m i (x *))

，

根据式（13），当

m i ∈ α

时，有

σ (- μ m i; 𝒯 m i 2) = s u p w ∈ R m i - (w 0 μ 0 m i + w ¯ Τ μ ¯ m i) | w ¯ Τ (- g ¯ m i (x *)) - w 0 (- g 0 m i (x *)) ≤ (- 𝒥 g 0 m i (x *) h) 2 - - 𝒥 g ¯ m i (x *) h 2

（14）

根据KKT条件式（7）的

μ m i ∘ (- g m i (x *)) = 0

，可以得到

μ ¯ m i = - μ 0 m i (- g 0 m i (x *)) (- g ¯ m i (x *))

，从而有

- (w 0 μ 0 m i + w ¯ Τ μ ¯ m i) = μ 0 m i (- g 0 m i (x *)) w ¯ Τ (- g ¯ m i (x *)) - w 0 (- g 0 m i (x *))

则当

m i ∈ α

时，

σ (- μ m i; 𝒯 m i 2) = μ 0 m i (- g 0 m i (x *)) (- 𝒥 g 0 m i (x *) h) 2 - - 𝒥 g ¯ m i (x *) h 2

因为

σ (- μ; 𝒯 2) = ∑ i = 1 p σ (- μ m i; 𝒯 m i 2)

，从而有

σ (- μ; 𝒯 2) = ∑ m i ∈ α μ 0 m i (- g 0 m i (x *)) (- 𝒥 g 0 m i (x *) h) 2 - - 𝒥 g ¯ m i (x *) h 2

因此，式（11）和式（12）是相互等价的，证毕。

4 结论

本文通过将二阶锥约束变分不等式转化成特殊的极小值问题，得到了二阶锥约束变分不等式问题的等价形式。通过等价形式得到了二阶锥约束变分不等式问题的解的一阶最优性条件，最后证明了二阶锥约束变分不等式问题的二阶充分条件。

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