An augmented Lagrange method for solving second-order cone-constrained variational inequalities

LIU Yu; SUN Juhe; WANG Li; MI Na; YUAN Yanhong

doi:10.3969/j.issn.2095-1248.2023.04.010

Journal of Shenyang Aerospace University >

2023 , Vol. 40 >Issue 4: 72 - 79

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.2095-1248.2023.04.010

Fundamental Science and Engineering

An augmented Lagrange method for solving second-order cone-constrained variational inequalities

LIU Yu ^,¹ ,
SUN Juhe ¹ ,
WANG Li ¹ ,
MI Na ¹ ,
YUAN Yanhong ²

Expand

^1. College of Science，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China
^2. College of Economics and Management，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030002，China

Received date: 2022-10-03

Online published: 2023-11-09

Fold

Abstract

The augmented Lagrange method was applied to solve a class of cone-constrained variational inequalities of second-order. Firstly， the second-order cone-constrained variational inequality problem was transformed into an equivalent optimization problem， and its different equivalent forms were obtained. Secondly， the second-order cone-constrained variational inequality problem was transformed into a system of equations by using the properties of projection operator， and the augmented Lagrange method was proposed for the system of equations. Thirdly， the global convergence of the algorithm was discussed， and a special case of the algorithm was deeply analyzed， and a class of inexact Newton method was introduced to solve the subproblems contained in the algorithm. Finally， three numerical examples were given to verify the feasibility of the algorithm.

Key words： second-order cone constraints variational inequality; augmented Lagrange method; inexact Newton method; projection operator; astringency

Cite this article

LIU Yu , SUN Juhe , WANG Li , MI Na , YUAN Yanhong . An augmented Lagrange method for solving second-order cone-constrained variational inequalities[J]. Journal of Shenyang Aerospace University, 2023 , 40(4) : 72 -79 . DOI: 10.3969/j.issn.2095-1248.2023.04.010

考虑二阶锥约束变分不等式问题^［1］：找到

x * ∈ K

，满足不等式

F x *, y - x * ≥ 0, ∀ y ∈ K

（1）

其中

K = {x ∈ Ω | A x - b = 0, x ∈ κ}

（2）

⋅, ⋅

表示内积，

F : R n → R n

是连续可微的映射，

Ω ⊂ R n

是闭凸集，并且

κ = κ m 1 × κ m 2 × ⋯ × κ m p

（3）

m i ≥ 1

，

m 1 + m 2 + ⋯ + m p = m

，并且其中

κ m i, i = 1,2, ⋯, p

是一个

m i

维的二阶锥。

变分不等式问题被广泛应用于优化问题、工程技术、力学、计算机科学、运筹学、运输业等诸多领域，引发了许多学者的特别关注。关于变分不等式问题的理论、应用和数值方法的研究一直在持续的进行。在主动配电网无功优化模型中， Yang等^［2］采用了二阶锥松弛方法和区间优化理论进行求解，不仅可以极大地提高效率，而且还能使结果具有一定的稳定性。对于一定扰动下的约束轨迹问题的优化，Sun等^［3］将原问题看作二阶锥的优化问题，通过使用连续的迭代算法来验证所提供的轨迹是否可行，同时也可以验证是否是最优轨迹。Jin等^［4］提出了一种基于分解迭代二阶锥规划的零展宽鲁棒波束的形成方法，解决了非平稳状态下自适应波束形成性能下降的问题，同时也提高了复杂环境中自适应波束形成的鲁棒性。文献［5］在解决下层问题时，也利用了凸二阶锥规划问题对鲁棒约束进行了转化。Wu等^［6］应用光滑算法来求解变分不等式的问题，并且证明了该算法的稳定性。石翔宇^［7］研究一类二阶偏微分方程及位移障碍变分不等式问题的有限元方法，使用了插值与投影定理相结合的处理方法，降低了解的正则性的要求，探讨出了在不同条件下解的收敛性与超收敛性。Singh等^［8］构造了求解多时间型变分不等式问题的迭代算法，并证明了其收敛性。Nnakwe等^［9］研究了一种惯性效应的投影算法，使算法的序列无限逼近变分不等式问题和不动点问题的公共解，以此来解决一些非线性优化问题。

基于此，本文利用增广Lagrange方法^［10］来求解一类二阶锥约束变分不等式问题。通过投影定理及变分不等式和优化问题的内在联系得到了二阶锥约束变分不等式问题不同等价变换形式。利用增广Lagrange函数构造了一类数值算法，并证明了数值算法的全局收敛性。最后将非精确牛顿法作为子算法求解了三个数值算例，验证了其可行性。同样增广Lagrange方法也有诸多应用，Han等^［11］通过增广Lagrange法高效求解混合整数线性规划（MILP）公式。Feng等^［12］提出了一种在不计算奇异值的情况下，基于增广Lagrange乘子的奇异谱分析去噪方法。同样Wang等^［13］建立了增广Lagrange乘子的存在性，文献［14］也给出了更加一般结果。

定义1 假设

R m

空间有一向量

s

，记作

s = (s 0, s ¯)

，其中

s ¯ = (s 1, s 2, ⋯, s m - 1) ∈ R m - 1

。那么二阶锥

κ m ⊂ R m

有如下定义：

κ m = {s = (s 0; s ¯) ∈ R × R m - 1 : s ¯ ≤ s 0}

。

对于任意的两个变量

x = (x 0; x ¯) ∈ R × R m - 1

，

y = (y 0; y ¯) ∈ R × R m - 1

，则

x

和

y

的Jordan积^［15］定义如下

x ∘ y = (x T y; x 0 y ¯ + y 0 x ¯)

。

对于

∀ x = (x 0; x ¯) ∈ R × R m - 1

具有以下的谱分解

x = λ 1 (x) c 1 (x) + λ 2 (x) c 2 (x)

（4）

式中：

λ 1

和

λ 2

是

x

的谱值，并且

λ i (x) = x 0 + (- 1) i x ¯ (i = 1,2)

（5）

c i (x) = 12 (1; (- 1) i x ¯ x), 若 x ¯ ≠ 0 12 (1; (- 1) i ω), 若 x ¯ = 0

式中：

ω ∈ R m - 1

，

ω = 1

。用

∏ κ m (x)

记作向量

x

在

κ m

上的投影，则

∏ κ m (x) = [λ 1 (x)] + c 1 (x) + [λ 2 (x)] + c 2 (x)

（6）

其中

[λ i] + = m a x {0, λ i}, i = 1,2

。显然

∏ κ m (x) = 12 (1 + x 0 x) (x ¯, x ¯), 若 x 0 < x ¯ x, 若 x ¯ ≤ x 0 0, 若 x ¯ ≤ - x 0

根据文献［16］，投影算子

∏ κ m (⋅)

在

R m

中的每一个点都是方向可微的，并且也是强半光滑的，即存在

V ∈ ∂ ∏ κ m (x + v)

，当

x ∈ R m, v ∈ R m

时，满足关系式

∏ κ m (x + v) = ∏ κ m (x) + V v + ο (v 2)

1 问题转化

对于问题（1）可以将其转化为如下的二阶锥优化问题^［17］：

m i n f (y) s . t . A y - b = 0, y ∈ K

（7）

式中：

f (y) = F x *, y - x *

，并且

f (y) ≥ 0

。则问题（7）得Lagrange函数为：

L x *, y, λ = F x *, y - x * + λ, A y - b,

∀ y ∈ Ω, λ ∈ κ

（8）

式中：

y

是原始变量；

λ

是对偶变量。由于

x *

是

f (y)

的最小值，因此在正则的条件下，

(y, λ)

是

L (x *, y, λ)

的一个鞍点，即

∀ y ∈ Ω, λ ∈ κ

，有

F (x *), x - x * + λ, A x * - b ≤ F (x *), x * - x * + λ *, A x * - b ≤ F (x *) y - x * + λ *, A y - b

（9）

式（9）通过不等式做差，有如下的等价表达式

x * ∈ a r g m i n F x *, y - x * + λ *, A y - b ∀ y ∈ Ω λ * ∈ a r g m i n λ, A x * - b ∀ λ ∈ κ

（10）

由于

A x - b

显然是可微的，那么系统（10）就意味着

(x *, λ *)

解决了如下变分不等式问题^［18］，

F (x *) + ∇ A x * - b λ *, y - x * ≥ 0, - A x * - b, λ - λ * ≥ 0,

（11）

∀ y ∈ Ω, λ ∈ κ

。根据投影算子的性质，上述变分不等式系统（11）等价于下列方程组问题

x = * ∏ Ω (x - * α (F (x) + ∇ (A x * - b) λ *)) * λ = * ∏ κ (λ + * α (A x - * b))

（12）

式中：

∏ Ω 和

∏ κ 分

别是

Ω

和

κ

上的投影算子，且

α > 0

。

由于

A x - b

是凸的，对于

∀ y ∈ Ω

，可以得到（12）的等价形式

F (x *), y - x * + λ *, A y - A x * ≥ 0 - A x * - b, λ - λ * ≥ 0

（13）

容易验证，式（9）～（13），在投影算子性质的作用下是相互等价的。

2 增广Lagrange法

设

x 1 ∈ Ω

是初始解，

λ 1 ∈ κ

是对应的Lagrange乘子，假设已知第

k

次迭代

x k ∈ Ω

和

λ k ∈ κ

，那么第

k + 1

步迭代有如下表达式

x k + 1 ∈ a r g m i n {12 y - x k 2 + α M (x k + 1 y, λ k) | y ∈ Ω} λ k + 1 = ∏ κ (λ k + α (A x k + 1 - b))

（14）

式中：

α > 0

，并且

M x, y, λ = F x *, y - x +

1 2 α ∏ κ λ - α A y - b 2 - 1 2 α λ 2

（15）

是式（7）的一个增广Lagrange函数^［17］。

需要注意的是

x k + 1

同时出现在（14）式的左右两边，那么这就意味着式（14）是一个隐式方程。因此，求解隐式方程式是解决问题的关键。

根据投影算子的性质，式（14）可以等价为如下的变分不等式问题：

x k + 1 - x k + α (F (x k + 1) + ∇ (A x k + 1 - b) ∏ κ (λ k - α (A x k + 1 - b))), y - x k + 1 ≥ 0

（16）

和

λ k + 1 - λ k + α (A x k + 1 - b), λ k - λ k + 1 ≥ 0

（17）

∀ y ∈ Ω, λ ∈ κ

。

下面，将证明增广Lagrange算法（14）的全局收敛性定理^［19］。

定理1 假设问题（1）的解集

Ω *

是非空的，并且

F

是一个单调映射。令

Ω ⊂ R n

是一个闭凸集，且

α > 0

。那么由增广Lagrange方法产生的序列

x k

依范数收敛于二阶锥约束变分不等式问题（1）的解。

证明：令式（16）中

y = x *

，再将新式子带入至式（17）中，可以得到

x k + 1 - x k + α F (x k + 1) + ∇ (A x k + 1 - b), x - x k + 1 ≥ 0

（18）

由此

x k + 1 - x k, x - * x k + 1 + α F (x k + 1), x * - x k + 1 + α ∇ (A x k + 1 - b) λ k + 1, x * - x k + 1 ≥ 0

（19）

根据式（19）中等式约束

A x - b

是凸的，式（19）中最后一项可以等价为

∇ A x k + 1 - b λ k + 1, x * - x k + 1 =

λ k + 1, ∇ A x k + 1 - b T x * - x k + 1 ≤

λ k + 1, A x * - A x k + 1

（20）

因此结合式（19）~（20）有

x k + 1 - x k, x - * x k + 1 + α F (x k + 1), x * - x k + 1 + α λ k + 1, A x * - A x k + 1 ≥ 0

（21）

令

y = x k + 1

带入到式（13）的第一个不等式中，有

F x *, x k + 1 - x * + λ *, A x k + 1 - A x * ≥ 0

（22）

通过对式（21）与（22）的求和，可得

x k + 1 - x k, x - * x k + 1 +

α F (x k + 1) - F x *, x * - x k + 1 +

α λ k + 1 - λ *, A x * - A x k + 1 ≥ 0

（23）

令

λ = λ *

带入到（17）式中，通过

λ k + 1 - λ *, A x * - b ≤ 0

和

λ *, A x * - b = 0,

可得

λ k + 1 - λ, λ * - λ k + 1 +

α A x k + 1 - A x, λ * - λ k + 1 ≥ 0

（24）

由于

F (x)

是一个单调算子，通过式（23）与（24）可以推导出

x k + 1 - x k, x - * x k + 1 + λ k + 1 - λ k, λ * - λ k + 1 ≥ 0

（25）

对于任意变量

x 1

，

x 2

和

x 3

，他们之间存在如下关系式

x 1 - x 3 2 = x 1 - x 2 2 + 2 x 1 - x 2, x 2 - x 3 + x 2 - x 3 2

（26）

并且有

x 1 - x 2, x 2 - x 3 = 12 x 1 - x 3 2 - 12 x 1 - x 2 2 + x 2 - x 3 2

（27）

通过（27）式，将（25）式变形为

x k + 1 - x k 2 + x * - x k + 1 2 + λ k + 1 - λ k 2 + λ * - λ k + 1 2 ≤ x * - x k 2 + λ * - λ k 2

（28）

对式（15），从

k = 0

到

k = N

进行累加求和

∑ k = 0 N x k + 1 - x k 2 + ∑ k = 0 N λ k + 1 - λ k 2 + x N + 1 - x * 2 + λ N + 1 - λ * 2 ≤ x 0 - x * 2 + λ 0 - λ * 2

（29）

从不等式（29）可知，点对集

{(x i, λ i) : i = 1,2, ⋯,}

的轨迹是有界的，如式（30）所示

x N + 1 - x * 2 + λ N + 1 - λ * 2 ≤ x 0 - x * 2 + λ 0 - λ * 2

（30）

并且它的级数也是收敛的，

∑ k = 0 ∞ x k + 1 - x k 2 < ∞, ∑ k = 0 ∞ λ k + 1 - λ k 2 < ∞

（31）

因此当

k → ∞

，

x - k + 1 x k 2 → 0, λ - k + 1 λ k 2 → 0

。由于序列

(x k, λ k)

是有界的，因此存在一个元素

(x', λ')

，当

i → ∞

时，使得

x k i → x'

和

λ k i → λ'

，同时

x k i + 1 - x k i 2 → 0, λ k i + 1 - λ k i 2 → 0

（32）

令（16）和（17）中

k = k i

，通过取极限

i → ∞

可以得出

F x' + ∇ A x' - b λ', y - x' ≥ 0, ∀ y ∈ Ω - A x' - b, λ - λ' ≥ 0, ∀ λ ∈ κ

（33）

综合上述，式（33）与式（10）所表示关系是一致的。当

x' ∈ Ω

，

λ' ∈ κ

，有

x' ∈ a r g m i n {(F x', y - x' + λ', A y - b | y ∈ Ω}

λ' ∈ a r g m i n λ, A x' - b λ ∈ κ

（34）

因此序列

(x k, λ k)

的任何极限点都是二阶锥约束变分不等式问题（1）的解，由此可以看出序列

x k - x * + λ k - λ *

是单调递减的，因此其极限点是唯一的。即，当

k → ∞

时，

x k → x ¯

和

λ k → λ ¯

，因此

x ¯ : = x' : = x *

和

λ ¯ : = λ' : = λ *

。

3 数值模拟

由于增广Lagrange方法中的方程式是隐式的，当

Ω = R n

的情况下，增广Lagrange方法（14）可化简为

G (x k + 1) = 0, λ k + 1 = ∏ κ (λ k + α (A x k + 1 - b)), α > 0

（35）

式中：

G k (x) = x - x k + α F (x) + α ∇ (A x - b) ∏ κ (λ k + α (A x - b))

（36）

由于投影映射

∏ κ (⋅)

是半光滑的，

G k (⋅)

也是半光滑的，假设

∂ G k (x k + 1)

中的任何元素都是非奇异的，并且

x k

和

x k + 1

非常接近的，那么可以使用下面的非精确牛顿法^［20］来求解式（35），具体叙述如下：

非精确牛顿法

步骤1：令

ξ 0 = x k

，选取非负参数列

{η j}

，并且

j = 0

；

步骤2：若

G k (ξ j) = 0

，停止；令

x k + 1 = ξ j

；

步骤3：选取

H j ∈ ∂ G k (ξ j)

，计算搜索方向

d j ∈ R n

，满足

G k (ξ j) + H j d = r j

；

步骤4：令

ξ j + 1 = ξ j + d j

，并且

j = j + 1

，转到步骤2。

在实际计算的过程中，我们通常用

G k (ξ j) ≤ ε 0

来代替步骤2中的

G k (ξ j) = 0

作为终止准则。非精确牛顿法收敛性已经在文献［21］中的Facchinei和Pang讨论过了，在此不再赘述。

本节将用非精确牛顿法作为子算法的增广Lagrange法求解当

Ω = R n

情况下的数值算例。利用拟牛顿法通过令

x k + 1 = ξ j

去找到第

k

次迭代的近似解，满足下述条件

s k : = F (x k) + ∇ (A x k - b) λ k ≤ ε 1

此时

ε 1 = 10 - 7

，下面将通过Matlab编程进行数值实验^［22］。

例1 考虑下面变分不等式问题

F x, y - x * ≥ 0, A y - b = 0, ∀ y ∈ R n

（37）

式中：

F (x) = x 1 + e x 1 ⋮ x n + e x n

并且

b = 0

，

F (x)

是一个单调算子。

在此算例中，令

ε 0 = 10 - 9

，

ε 1 = 10 - 7

，

α = 0.4

并且

η j = 1 2 j (j = 0,1, 2, ⋯)

，在非精确牛顿法中的第

j

次广义雅克比

H j

的具体表达式为

H j = I n + α d i a g 1 ≤ i ≤ n [1 + e i j] + α B j

接下来计算

B j

，设

γ = (λ 2 + α y 2 e y 2) 2 + ⋯ + (λ n + α y n e y n) 2

，式中：

λ 2, ⋯, λ n

表示Lagrange乘子

λ

的分量；

y 2, ⋯, y n

表示自变量

y

的分量。这样可以得到

B 11 j = 12 α A 2, 若 x 1 < x ¯ α A 2, 若 x ¯ ≤ x 1 0, 若 x ¯ ≤ x 1

B j

的第一行元素

B 1 j j

(i = 2,3, ⋯)

有如下表达式

B 1 j j = 12 α A 2 γ (λ j + α A y j), 若 x 1 < x ¯ 0, 若 x ¯ ≤ x 1 0, 若 x ¯ ≤ x 1

B j

的对角元素

B i i j

(i = 2,3, ⋯)

有如下表达式

B i i j = 12 α A 2 (λ 1 + α A y 1) (λ i + α A y i) 2 γ 3 + 12 α A 2 (1 + λ 1 + α A y 1 γ), 若 x 1 < x ¯ α A 2, 若 x ¯ ≤ x 1 0, 若 x ¯ ≤ x 1

B j

的第一列元素

B i 1 j

(i = 2,3, ⋯)

有如下表达式

B i 1 j = 12 α A 2 (λ i + α y i e y i) γ, 若 x 1 < x ¯ 0, 若 x ¯ ≤ x 1 0, 若 x ¯ ≤ x 1

最后计算

B j

中的其余元素

B i j j

，有

B i j j = 12 α A 2 (λ 1 + α A y 1) (λ i + α A y i) 2 γ 3, 若 x 1 < x ¯ 0, 若 x ¯ ≤ x 1 0, 若 x ¯ ≤ x 1

数值计算结果汇总见表1，其中

k

表示测试的迭代次数，Times表示测试第二次终止的时间。

表1 关于例1问题的数值模拟结果

n	m	$κ$	k	Times/s	s_k	Ε ₀	Ε ₁
800	800	$κ 400 × κ 400$	20	1.535 705e+02	5.169 821e-08	10^-9	10^-7
1 000	1 000	$κ 500 × κ 500$	20	2.715 724e+02	5.088 478e-08	10^-9	10^-7
1 200	1 200	$κ 400 × κ 400 × κ 400$	20	4.635 674e+02	6.510 298e-08	10^-9	10^-7
1 600	1 600	$κ 400 × κ 400 × κ 400 × κ 400$	20	1.983 425e+02	7.304 573e-08	10^-9	10^-7

为验证算法的可行性与有效性，在同等精度下，利用增广Lagrange法与参考文献［17］中的算法做比较，文献［17］中算法结果如表2所示，不难发现增广Lagrange法迭代次数更少，具有一定的优势。

表2 文献中的数值模拟结果

n	m	$κ$	k	Times/s	s_k	Ε ₀	Ε ₁
200	200	$κ 100 × κ 100$	22	5.593 750e+00	4.781 208e-08	10^-9	10^-7
400	400	$κ 200 × κ 200$	22	8.065 625e+01	6.686 809e-08	10^-9	10^-7
600	600	$κ 200 × κ 200 × κ 200$	22	3.328 906e+02	8.189 635e-08	10^-9	10^-7
800	800	$κ 200 × κ 200 × κ 200 × κ 200$	22	7.884 531e+02	9.455 724e-08	10^-9	10^-7

参考文献［15］中，对于算例1也使用了增广Lagrange方法，但广义雅克比的

H j

的表达式是放到正卦限中研究，而不是在二阶锥中研究，对此有表2的模拟结果。经过表2与表1的对比，不难发现利用改进的增广Lagrange方法，迭代的次数更少，结果更稳定。

例2 考虑下面变分不等式问题

M x * + 12 x *, y - x * ≥ 0, A y - b = 0, ∀ y ∈ R n

式中：

M

是一个正半定矩阵，在此算例中，

ε 0 = 10 - 9

；

ε 1 = 10 - 7

；

α = 0.4

；且

η j = 1 2 j (j = 0,1, 2, ⋯)

。在非精确牛顿法中的第

j

次广义雅克比

H j

的具体表达为

H j = I n + α (M + 12 I n) + α B j

数值计算结果汇总如表3。

表3 关于例2问题的数值模拟结果

n	m	$κ$	k	Times/s	s_k	Ε₀	Ε₁
800	800	$κ 400 × κ 400$	7	6.437 500e+00	5.024 822e-08	10^-9	10^-7
1 000	1 000	$κ 500 × κ 500$	7	1.084 375e+01	5.809 612e-08	10^-9	10^-7
1 200	1 200	$κ 300 × κ 300 × κ 300 × κ 300$	8	1.784 375e+01	4.217 146e-08	10^-9	10^-7
1 600	1 600	$κ 400 × κ 400 × κ 400 × κ 400$	8	3.467 188e+01	4.804 897e-08	10^-9	10^-7

例3 考虑下面变分不等式问题

C x * + b, y - x * ≥ 0, A y - b = 0, ∀ y ∈ R n

其中

b

是一个正半定矩阵，在此算例中，

ε 0 = 10 - 9

；

ε 1 = 10 - 7

；

α = 0.4

；且

η j = 1 2 j (j = 0,1, 2, ⋯)

，在非精确牛顿法中的第

j

次广义雅克比

H j

的具体表达式为

H j = I n + α C + α B j

数值计算结果见表4。

表4 关于例3问题的数值模拟结果

n	m	$κ$	k	Times/s	s_k	Ε ₀	Ε ₁
800	800	$κ 100 × κ 100$	11	8.437 500e+00	8.049 980e-08	10^-9	10^-7
1 000	1 000	$κ 200 × κ 200$	11	1.440 625e+01	8.947 337e-08	10^-9	10^-7
1 200	1 200	$κ 150 × κ 150 × κ 150 × κ 150$	12	2.242 188e+01	9.701 349e-08	10^-9	10^-7
1 600	1 600	$κ 200 × κ 200 × κ 200 × κ 200$	13	4.840 625e+01	6.718 486e-08	10^-9	10^-7

4 结论

本文是基于Lagrange函数，将二阶锥约束变分不等式问题转化为二阶锥优化问题。通过讨论二阶锥锥优化问题一系列的等价形式，构造了一种求解二阶锥约束变分不等式问题的增广Lagrange方法。本文从实际的角度出发，考虑

Ω ∈ R n

的特殊情况，即将Lagrange法迭代公式转化为方程组，并用非精确牛顿法进行求解。本文针对三个数值算例进行了数值模拟，并根据数值结果证明了增广Lagrange法的可行性与有效性。

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1 问题转化

2 增广Lagrange法

3 数值模拟

表1 关于例1问题的数值模拟结果

表2 文献中的数值模拟结果

表3 关于例2问题的数值模拟结果

表4 关于例3问题的数值模拟结果

4 结论

References